Home

Erik Moberg ©:
Offentliga beslut, kapitel 3.
 
 

Rousseau och hans tid
Borda och Condorcet
Arrows teorem
Arrow och Rousseau
Vägar förbi Arrows resultat
Mays teorem
Slutnoter
 

3. DEN HÄGRANDE ALLMÄNVILJAN
 

ROUSSEAU OCH HANS TID

De frågor som tas upp i detta kapitel1 fick en tidig intellektuell eller vetenskaplig behandling i Frankrike under upplysningstidens 1700-tal. Denna tid präglades av en stark tro på det mänskliga förnuftets förmåga att åstadkomma ett bättre liv och en bättre framtid för människorna. Isaac Newton hade lagt grunden för den mekanistiska världsbilden, och naturvetenskapen och samhällsfilosofin stod båda högt i kurs. Den senare lät sig ibland också inspireras av den tidigares matematiska och deduktiva metoder. Demokratins idéer utvecklades och diskuterades. Akademier bildades och stora verk som sammanfattade tidens vetande skrevs. Det mest kända av dessa var det franska Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers som under åren 1751-1780 gavs ut i 35 band av Denis Diderot och Jean le Rond d'Alembert. Bland de medverkande, de s k encyklopedisterna, fanns Frankrikes mest berömda vetenskapsmän och filosofer.

I denna krets ingick en av alla tiders mest kända och inflytelserika samhällsfilosofer, nämligen Jean-Jacques Rousseau (1712-1778). Det som gör honom intressant i just detta sammanhang är de nära sambanden mellan hans idé om den s k allmänviljan (la volonté générale) och de idéer som diskuteras i detta kapitel. Detta innebär emellertid inte att Rousseau kan betraktas som en föregångsman inom den ekonomiska statsvetenskapen så som denna preciserats i kapitel 1 - därtill är de likaledes existerande skillnaderna, bl a ifråga om metod, alltför påtagliga. Det har inte heller visats att Rousseau direkt påverkat någon av de forskare som behandlas i fortsättningen av detta kapitel, även om det inte kan uteslutas, och kanske t o m är sannolikt, att åtminstone Condorcet påverkats på ett eller annat sätt. Även han tillhörde nämligen encyklopedisterna.

Det viktiga här är emellertid att Rousseaus idéer om allmänviljan och de andra idéer som behandlas i detta kapitel, alldeles oavsett påverkansförhållandena, tillhör samma allmänna idévärld. Med tanke på Rousseaus framträdande ställning i idéhistorien, och också med tanke på att han verkade först av de här aktuella författarna, är det därför naturligt att börja med honom. Hans verk är den självklara inkörsporten.

1762 publicerade Rousseau sitt stora samhällsfilosofiska huvudarbete Du contrat social ou Principes du droit publique. Det är i denna i många stycken dunkla skrift som Rousseau presenterar sina tankar om allmänviljan. I det följande inskränker jag mig till att i summarisk form referera och kommentera de huvudpunkter hos Rousseau som är av intresse just här.2

Rousseau tänker sig till att börja med att staten kan legitimeras genom föreställningen om ett allmänt samhällsfördrag. Han menar alltså inte att staten faktiskt uppkommit på detta sätt, utan endast att fördraget är en fiktion utifrån vilken staten kan motiveras. Grunden för samhällsfördraget är att människorna med fördraget får det bättre än utan. Fördragets innebörd är att varje människa lämnar över sina naturliga rättigheter till samhället och i gengäld får del i alla andra individers rättigheter. Att Rousseau på detta sätt kunde föreställa sig att rättigheter kunde existera före fördraget kan förefalla underligt för en modern läsare men har sin grund i att Rousseau, liksom flertalet av sina samtida, förfäktade naturrättsliga uppfattningar. Att varje människa genom fördraget får del i alla andras rättigheter innebär enligt Rousseau att varje människa accepterar att ständigt lyda den s k allmänviljan. Eftersom allmänviljan spelar en så central roll i Rousseaus tankevärld är det väsentligt att söka precisera hans uppfattning om denna viljas egenskaper.

För det första är det då väsentligt att peka på allmänviljans absoluta karaktär. Den är inte i något avseende något relativt, någon kompromissprodukt, utan istället "sann", "oföränderlig", "ren" och "en enda". Detta innebär bl a att en individ som i någon fråga har en annan uppfattning än allmänviljans helt enkelt "har fel". En sådan individ måste därför, som Rousseau med viss följdriktighet uttrycker saken, "tvingas att bli fri".

För det andra är det viktigt att det inte finns några gränser för allmänviljans giltighet, den härskar överallt och i alla sammanhang. Rousseau gör alltså ingen åtskillnad mellan offentliga och privata sfärer, t ex på det sätt som diskuterades i kapitel 2. Istället är människorna ständigt, och i alla avseenden, underkastade allmänviljans lag.

Eftersom allmänviljan på detta sätt är både absolut och generell, och därför av allra största betydelse för människorna, är det naturligtvis viktigt att veta hur man får reda på dess innehåll och innebörd. Rousseaus svar på den frågan är emellertid svävande och svårtolkat. Grunden för hans uppfattningar tycks vara ett slags folkomröstningsideal. Om medborgarna är tillräckligt upplysta, och ett antal ytterligare villkor är uppfyllda, så kommer allmänna medborgaromröstningar att ge uttryck åt allmänviljan. Bland de ytterligare förutsättningarna kan först nämnas att samhället måste vara tillräckligt litet, t ex som de grekiska stadsstaterna av vilka Sparta var ett ideal för Rousseau. I nära anknytning till detta låg uppfattningen att omröstningen direkt måste ta sikte på den fråga saken gällde - val av en representativ församling som i sin tur avgjorde de enskilda frågorna kunde inte resultera i ett korrekt uttryck för allmänviljan. Dessutom måste varje röstande medborgare komma fram till sin uppfattning alldeles på egen hand, varför politiska sammanslutningar eller andra korporationer inte fick förekomma.

Vi vet att verklighetens stater inte uppfyller dessa villkor vilket naturligtvis också Rousseau insåg. Men i den mån man tvingas konstatera detta måste man också dra slutsatsen att frågan om allmänviljans inriktning eller innehåll är obesvarad. Rousseau tvingades därför till ytterligare preciseringar och kunde då t ex säga att det inte är antalet röster, utan det gemensamma intresse som förenar dem, som gör den i val uttryckta viljan till en allmänvilja. Det kan därför, och för att ta upp det extremfall som Rousseau själv nämnde, vara stor skillnad på allas vilja och den allmänna viljan. Dessa försök till preciseringar kan emellertid knappast anses framgångsrika. Det förefaller uppenbart att Rousseau till slut kommer oroväckande nära ståndpunkten att allmänviljan helt enkelt är just allmänviljan.

Innan vi går vidare finns det anledning att ytterligare kommentera Rousseaus filosofi i ett par avseenden. En första punkt är att Rousseau, trots att samhällsfördraget, eller samhällskontraktet, spelar en så stor roll i hans lära, inte kan räknas till de författningshistoriskt betydelsefulla kontraktsteoretikerna. Orsaken är helt enkelt att hans fördrag är så dunkelt till sin innebörd, och så fjärran från verkliga eller tänkbara kontrakt, att det egentligen blott kan tjäna som utgångspunkt i hans egen framställning. De betydelsefulla kontraktsteoretikerna är istället, och som vi kommer att se i nästa kapitel, tänkare med en i väsentliga avseenden annan inriktning, främst John Locke.

En andra punkt gäller Rousseaus förhållande till demokrati och diktatur. Det intressanta, men knappast egendomliga, är att såväl demokratiska som totalitära samhällstänkare ofta anfört honom som en väsentlig inspiratör och auktoritet. Det är inte svårt att se vad dessa olika typer av tänkare funnit att ta fasta på. Demokraterna har inspirerats av Rousseaus idé om samhällsfördraget som ett fördrag mellan samtliga medborgare, samt av hans förordande av allmän rösträtt. Det bör tillfogas att Rousseau på denna senare punkt klart skiljer sig från t ex Locke och Montesquieu som, trots sin stora betydelse för de demokratiska idéernas utveckling i övrigt, menade att rösträtten borde begränsas. De totalitära tänkarna, å andra sidan, har inspirerats av Rousseaus idéer om den absoluta och generella, men samtidigt så svårfångade, allmänviljan. Varje person, grupp eller fraktion som i ett kaotiskt samhällsläge vill gripa makten kan ju, med visst stöd av Rousseau, säga sig representera allmänviljan, den sanna folkviljan, eller något liknande. Redan under franska revolutionen åberopade både de demokratiskt och de totalitärt inriktade aktörerna Rousseau till stöd för sin egen sak.
 

BORDA OCH CONDORCET3

Rousseau funderade alltså över hur allmänviljan skulle kunna fastställas och efter honom har många andra ägnat sig åt likartade problem. Ett av dessa problem, kanske det mest grundläggande, är att på ett så riktigt och rättvist sätt som möjligt komma fram till ett gemensamt beslut för ett kollektiv, t ex en kommitté eller en valmanskår, när man känner varje kollektivmedlems uppfattning i den fråga det gäller. I denna problemformulering ingår inte termen allmänvilja med sina metafysiska övertoner men det hindrar inte, som vi senare kommer att se, att metafysiska föreställningar ofta ligger till grund för själva intresset för problemet. Tills vidare kan vi emellertid bortse från detta och istället gå rakt på ansträngningarna att lösa problemet, så som det just formulerats.

För en tidig behandling av problemet stod fransmannen Jean-Charles de Borda (1733-1799) som 1781 gav ut skriften Mémoire sur les Élections au Scrutin. För att konkretisera sina tankar utnyttjade Borda ett sifferexempel (tabell 1). Han tänkte sig att ett kollektiv, som består av 21 medlemmar, skall utse en befattningshavare. Tre kandidater till posten finns tillgängliga, nämligen personerna A, B och C.
 
 

Antal
1:a plats
2:a plats
3:e plats
1
A
B
C
7
A
C
B
7
B
C
A
6
C
B
A
Tabell 1

Tabellen visar hur Borda tänkte sig att medlemmarna i kollektivet rangordnar de tre kandidaterna. En medlem i kollektivet tycker alltså att kandidaten A är bäst, därnäst B, och därnäst C. Sju medlemmar tycker att A är bäst, därnäst C, och därnäst B. Ytterligare sju medlemmar tycker att B är bäst, därnäst C, och därnäst A. Sex medlemmar slutligen tycker att C är bäst, därnäst B och därnäst A.

Med utgångspunkt från detta exempel konstaterade Borda först att kandidaten A skulle bli vald om man tillämpade beslutsregeln relativ majoritet (engelska "plurality rule"). I så fall skulle ju varje medlem av kollektivet ange den kandidat den ansåg vara bäst varvid A skulle få åtta röster, B sju och C sex. A skulle alltså få fler röster än någon av de andra kandidaterna och därmed också bli vald. Ett sådant val skulle emellertid enligt Borda vara felaktigt eller orättfärdigt därför att en absolut majoritet på 13 kollektivmedlemmar ju faktiskt också menar att A är sämst. Beslutsregeln relativ majoritet måste därför ersättas med någon annan regel. Kanske skulle man vänta sig att Borda utnyttjade det kriterium baserat på absolut majoritet som han använder för att kritisera relativregeln, och som vi senare kommer att återfinna som Condorcetkriteriet, för att formulera en ny och bättre beslutsregel. Han gick emellertid inte den vägen utan resonerade sig fram till en beslutsregel av annan beskaffenhet, som han ansåg överlägsen.

Ett första inslag i Bordas resonemang var att man inte, som vid tillämpning av regeln relativ majoritet, enbart skulle beakta de kandidater som de olika kollektivmedlemmarna satte främst i sina respektive rangordningar. I så fall utnyttjas ju inte all information som föreligger om kollektivmedlemmarnas preferenser Man borde också, menade han, på ett eller annat sätt fästa avseende vid vilka kandidater som sattes på andra och tredje plats, d v s man borde utnyttja kollektivmedlemmarnas totala rangordningar. I sin strävan att ta hänsyn till de totala rangordningarna resonerade Borda på följande sätt.

För det första fanns det, menade han, ingen anledning att tro att "nytto-" eller "värdeavstånden" mellan den enskilde kollektivmedlemmens olika rangplatser skiljde sig åt. Om en medlem t ex sätter A före B och B före C så är, menar Borda sålunda, A för denne medlem lika mycket bättre än B som B är bättre än C. Om C i detta exempel åsättes värdet a, och B värdet a + b, så får alltså A med detta sätt att resonera värdet a + 2b.4

För det andra borde alla medlemmarna i kollektivet anses likvärdiga, de borde alla väga lika tungt. Av detta skäl borde alla medlemmars första alternativ åsättas samma värde, nämligen a + 2b, deras andra alternativ värdet a + b, och deras tredje alternativ värdet a.5

Med tillämpning av dessa båda tankar är det nu möjligt att räkna fram ett totalt värdetal för varje kandidat, och därefter förklara den kandidat som får högst tal för vald. Det är precis den beslutsregeln som Borda förordar. I vårt exempel blir värdetalen dessa:

Kandidaten A får talet
1(a + 2b) + 7(a + 2b) + 7a + 6a = 21a + 16b

Kandidaten B får talet
1(a + b) + 7a + 7(a + 2b) + 6(a + b) = 21a + 21b

Kandidaten C får talet
a + 7(a + b) + 7(a + b) + 6(a + 2b) = 21a + 26b

Eftersom termen 21a är densamma för alla tre kandidaterna är det bara b-termen som skiljer dem åt. Denna term är högst för kandidaten C, som sålunda blir vald. Resultatet blir alltså ett annat, och enligt Borda rättvisare, än om man tillämpar regeln relativ majoritet.

Innan vi går vidare finns det anledning att göra en formell kommentar till resultatet. Att a-termen blir densamma för alla tre kandidaterna är uppenbarligen ingen tillfällighet utan istället en konsekvens av beslutsregelns konstruktion. Det är lätt att se att det antal a:n som varje kandidat får måste överensstämma med antalet medlemmar i kollektivet. Varje medlem tilldelar ju varje kandidat något av värdena a + 2b, a + b eller a, d v s vilket värde det än blir så innehåller det just ett a. Det är därför inte bara i vårt exempel som a:na inte spelar någon roll för beslutsresultatet, det måste alltid vara så. Därför är det också alltid bara antalet b:n som avgör valet. Detta ger i sin tur upphov till en möjlighet att väsentligt förenkla valsammanräkningen. Bokstäverna a och b kan tilldelas godtyckliga positiva värden, t ex a = 1 och b = 1. Istället för a + 2b, a + b och a blir värdetalen då istället 3, 2 och 1. Om det förekommer fyra kandidater istället för tre kan man istället använda värdetalen 4, 3, 2 och 1, o s v. "Platssiffror" av detta slag ger alltså enklare kalkyler och alltid samma resultat som de i detta sammanhang endast skenbart mer generella bokstavsbeteckningarna.

Bordas röstningsmetod har en del tilltalande drag men också nackdelar. En nackdel är att metoden blir mycket omständlig då det finns många alternativ att välja mellan och då antalet medlemmar i kollektivet är stort. Metoden kräver ju att varje medlem anger inte bara sitt bästa alternativ utan sin totala rangordning, att platssiffrorna därefter fastställs, och att slutligen en sammanräkning för hela kollektivet genomförs. Detta kan kanske vara möjligt i enklare frågor i mindre kommittéer, men knappast i landsomfattande allmänna val - åtminstone inte före datorernas tid kanske man försiktigtvis skall tillägga.

En annan nackdel som ofta framhålles är att metoden inbjuder till taktisk röstning. Låt oss t ex tänka oss att en kommitté med fem medlemmar skall välja ett av tre handlingsalternativ, som vi kan kalla X, Y och Z. Vi tänker oss att rangordningarna ser ut som i tabell 2 (exemplet från Mueller 1989, s 120).
 
 

Antal
1:a plats
2:a plats
3:e plats
3
X
Y
Z
2
Y
Z
X
Tabell 2

Med utnyttjande av platssiffrorna 3, 2 och 1 får då alternativet X värdetalet 3×3 + 2×1 = 11, alternativet Y talet 3×2 + 2×3 = 12 och alternativet Z talet 3×1 + 2×2 = 7. Alternativet Y får alltså högst tal och vinner. För de tre kommittémedlemmar som tycker att X är bäst är detta förstås inte särskillt tillfredsställande och det intressanta är att dessa medlemmar faktiskt kan främja sin sak genom att redovisa falska preferenser. Om de falskeligen uppger sig tycka bättre om Z än om Y kommer de deklarerade rangordningarna istället att se ut som i tabell 3.
 
 

Antal
1:a plats
2:a plats
3:e plats
3
X
Z
Y
2
Y
Z
X
Tabell 3

X får då, som tidigare, värdetalet 3×3 + 2×1 = 11. Alternativet Y får däremot sitt tal sänkt till 3×1 + 2×3 = 9, och Z, slutligen, får sitt tal höjt till 3×2 + 2×2 = 10. De tre kommittémedlemmarnas falska preferenser gör sålunda att värdetalet för Y sjunker något samtidigt som talet för Z stiger. Slutresultatet blir att alternativet X vinner istället för Y. Den taktiska röstningen är alltså i detta fall framgångsrik. För att det i det allmänna fallet skall te sig attraktivt för en grupp att rösta taktiskt krävs dels att gruppen känner övriga kollektivmedlemmars preferenser, dels att dessa andra medlemmar kan antas rösta i enlighet med sina sanna preferenser. Det är framför allt i mycket små kollektiv, t ex kommittéer, som dessa betingelser kan tänkas vara uppfyllda.6

Samhällsfilosofen, ekonomen och matematikern Antoine de Condorcet (1743-1794) publicerade sig flitigt inom skilda områden. Han tillhörde encyclopedisterna, var medlem av vetenskapsakademien och blev 1791 medlem av den lagstiftande församlingen. Eftersom han stod gironden nära förklarades han fredlös vid detta partis fall 1793 och dog därefter i fängelse. Sina tankar om voteringsmetoder presenterade han 1785 i skriften Essai sur l'Application de l'Analyse à la Probabilité des Décisions Rendues à la Pluralité des Voix.

Condorcet ansåg precis som Borda att metoden relativ majoritet gav missvisande utslag och att det var nödvändigt att ta hänsyn till kollektivmedlemmarnas totala rangordningar, inte bara till deras främsta alternativ. Condorcet föreslog emellertid en annan metod än Borda. Condorcet menade att alla alternativ skulle ställas parvis mot varandra och att det alternativ som därvid fick majoritet gentemot alla andra skulle väljas. För att omedelbart visa vad detta innebär kan vi utnyttja samma exempel som Borda valde som utgångspunkt, d v s exemplet i tabell 1.

Om vi först ställer A mot B så ser vi att 1 + 7 kollektivmedlemmar föredrar A framför B medan 7 + 6 föredrar B framför A. Det finns alltså en majoritet för B gentemot A.

Sedan ställer vi A mot C och finner då att 1 + 7 medlemmar föredrar A framför C och att 7 + 6 tycker att C är bättre än A. En majoritet menar alltså att C är bättre än A.

Slutligen, i den sista kombinationen, ställer vi B mot C och finner att 1 + 7 medlemmar tycker att B är bättre än C medan 7 + 6 tycker tvärtom. Det finns alltså en majoritet för C mot B.

Slutsatsen blir att kollektivet som helhet rangordnar de tre alternativen så att C kommer på första plats, därnäst B, och därnäst och sist A. Valet faller alltså på C.

Vi kan först konstatera att detta val överstämmer med det som uppnås med Bordas metod. I båda fallen vinner C, vilket kanske ter sig intuitivt rimligt, medan alternativet A, som vinner vid tillämpning av relativ majoritet, slås ut. Denna överensstämmelse mellan Bordas och Condorcets metoder är emellertid på intet vis nödvändig, även om den är vanlig. Metoderna kan också ge olika utfall, vilket kan visas med det tidigare exemplet i tabell 2.

Som vi redan konstaterat så vinner Y med Bordas metod. Om vi istället tillämpar Condorcets metod så finner vi att X vinner mot Y (3 mot 2), att Y vinner mot Z (5 mot 0), och att X vinner mot Z (3 mot 2). I den gemensamma, kollektiva rangordningen kommer alltså X först, därnäst Y och sist Z. Vinnaren X är alltså en annan än med Bordas metod.

Den metod eller det kriterium som Condorcet lanserade, majoritet gentemot alla övriga alternativ, brukar kallas för Condorcetkriteriet. Vidare brukar det alternativ, som vinner gentemot alla andra i parvisa omröstningar, kallas för Condorcetvinnaren. Condorcets metod har som alla andra voteringsmetoder både förtjänster och brister. Viktigast bland de senare är kanske att metoden ibland inte ger något resultat alls. Ett exempel på detta ges i tabell 4.
 
 

Antal
1:a plats
2:a plats
3:e plats
50
A
B
C
49
B
C
A
2
C
A
B
Tabell 4

I den situationen vinner A mot B (50+2 röster mot 49) och dessutom vinner B mot C (50+49 röster mot 2). Det som skapar problem är emellertid att C samtidigt vinner mot A (49+2 röster mot 50). Det finns alltså inget alternativ som får majoritet mot samtliga andra, och alltså ingen Condorcetvinnare. Kollektivet förefaller irrationellt eftersom det, trots att det föredrar A framför B och B framför C, ändå också föredrar C framför A. Detta fenomen, som Condorcet var väl medveten om, brukar kallas för Condorcetparadoxen. Ibland talar man också om cykliska majoriteter, och logiker säger gärna att kollektivets preferensrelation är icke-transitiv (se avsnittet "Nyttoteori" i Appendix).

För att man skall få fram ett beslut även i dessa fall då Condorcetkriteriet inte ger något resultat föreslog Condorcet att man helt enkelt skulle låta bli att ta hänsyn till det par av alternativ som uppvisar den minsta majoriteten och bara beakta de övriga parkombinationerna (Black 1958, s 172). I exemplet ovan är majoriteterna 52 (50 + 2) för paret AB, 99 (50 + 49) för paret BC och 51 (49 + 2) för paret AC. Paret AC har alltså den minsta majoriteten och beaktas därför inte. När sedan hänsyn tas enbart till de övriga paren, d v s AB och BC, ordnas de tre alternativen entydigt så att A kommer främst, därnäst B, och därnäst C. Resultatet blir alltså att A vinner.

Det är svårt att ha någon bestämd uppfattning om det rimliga i denna metod för att undvika problemet med cykliska majoriteter. Det just presenterade exemplet bör emellertid föranleda visst tvivel. Med hänsyn till kollektivmedlemmarnas preferenser kan B tyckas vara ett väl så rimligt val som A. Praktiskt taget lika många medlemmar har ju placerat A och B på första plats, 50 respektive 49 medlemmar, och så tillvida är alltså ställningen mellan de båda alternativen ganska jämn. På andraplatsen är emellertid skillnaden mellan de båda alternativen stor - 50 medlemmar har placerat B där medan endast två medlemmar gjort detsamma med A. Man kan tycka att detta borde vara tillräckligt för att låta B vinna.

Ytterligare en tänkbar invändning mot Condorcets förslag är att det inte alltid löser det problem det är till för att lösa, vilket framgår av exemplet i tabell 5.
 
 

Antal
1:a plats
2:a plats
3:e plats
30
A
B
C
30
C
A
B
30
B
C
A
Tabell 5

Det är lätt att se att vi även i detta fall får cykliska majoriteter. A vinner ju mot B med 60 mot 30, B mot C med 60 mot 30, och C mot A slutligen med 60 mot 30. Eftersom alla majoriteter är lika stora finns emellertid inte heller något par att utesluta på det sätt som Condorcet föreslår och någon vinnare går alltså inte att utse. Invändningen bör emellertid kunna avvisas. Det kan snarare ses som en fördel hos Condorcets metod att den lämnar valfrågan oavgjord i en situation som är så fullständigt symmetrisk som den beskrivna. Även en del andra metoder har f ö samma egenskap. Bordas metod ger t ex samma poäng åt vart och ett av alternativen.

Beskrivningen av Condorcets tankar så här långt har hela tiden baserats på exempel med tre alternativ. Detta följer också Condorcets egen framställning så tillvida att han började med sådana exempel för att därefter utvidga diskussionen till att inkludera mer än tre alternativ. Dessa utvidgningar behöver vi dock inte gå in på här. Det principellt intressanta - och då framför allt Condorcetparadoxen - låter sig väl belysas med bara tre alternativ.

En principiellt mycket viktig fråga som togs upp av Condorcet återstår dock att behandla (Black 1958, s 177). Antag att en enskild person rangordnar tre alternativ så att han föredrar A framför B och B framför C. Om personen är konsekvent bör han då rimligen också föredra A framför C. Följande tre satser beskriver alltså vad personen tycker:

Frågan är nu om dessa tre satser är likvärdiga eller om möjligen den tredje på något sätt kan anses väga tyngre eller ha säkrare giltighet än de båda andra. Om personen t ex tycker att A är bättre än B, och B bättre än C, så borde han kanske också kunna tycka att A är mycket bättre än C. Eller om han egentligen tycker att A endast sannolikt är bättre än B, och B sannolikt bättre än C, så kunde han måhända ändå tycka A med hygglig säkerhet är bättre än C.

Utan att redovisa argumenten, vilka är svårtolkade, kan vi konstatera att Condorcet avvisar dessa idéer. Han betraktar de tre satserna som i allt väsentligt likvärdiga. Detta är viktigt eftersom det ger en inblick i de skilda synsätt som kan ha fått Borda och Condorcet att föreslå olika voteringsmetoder. Borda arbetade, som vi sett, medvetet och explicit med idéer om värdemässiga avstånd mellan olika alternativ. Han föreställde sig, på det sätt som förklaras närmare i avsnittet "Nyttoteori" i Appendix, existensen av en kardinal nyttoskala. Det är därför också lätt att tänka sig att Borda, till skillnad från Condorcet, faktiskt skulle ha tillerkänt den tredje satsen ovan en större tyngd än de båda första. För Condorcet, som inte såg saken så, var alla idéer om platssiffror och liknande rimligen främmande. Därför, kan man tänka sig, utformade han också sitt kriterium i termer av enbart majoriteter. Den nyttoskala som han hade i tankarna var, med den terminologi som förklaras i Appendix, ordinal snarare än kardinal.

Efter Borda och Condorcet tog en del andra tänkare av och till upp problemet att finna goda voteringsmetoder. bl a kan nämnas några brittiska matematiker och bland dem kanske framför allt prästen och logikern Charles Lutwidge Dodgson (1832-98), som dock blivit mera känd under pseudonymen Lewis Carroll, d v s författaren till Alice i underlandet. Trots dessa skilda ansträngningar togs emellertid det riktigt stora steget av Kenneth J. Arrow när han publicerade sin lilla skrift Social Choice and Individual Values (1951).

I stora drag resonerade Arrow på följande sätt. Han preciserade först några krav som en god beslutsregel bör uppfylla, krav som är så rimliga att de nästan kan förefalla självklara. Därefter visade han, och det är det resultatet som brukar kallas för Arrows teorem, att det inte finns någon beslutsregel som uppfyller kraven, en sådan regel är helt enkelt en logisk omöjlighet. De enkla kraven är alltså trots sin synbara självklarhet oförenliga. Efter detta vet man att det inte lönar sig att försöka utforma vissa typer av önskade voteringsmetoder eftersom de är logiskt omöjliga. Genom sin samtidigt mycket generella och formellt stringenta analys har Arrow kraftigt stimulerat intresset för voteringsproblemet, eller mer allmänt för sambanden mellan individuella preferenser och samhälleligt agerande. Hans resultat har givit upphov till en omfattande diskussion och litteratur.
 

ARROWS TEOREM7

Genom sin formella natur är Arrows resonemang beroende av ett antal begrepp, som först måste preciseras. bl a är det viktigt att exakt förstå vad Arrow menar med en beslutsregel. Jag börjar med att försöka klargöra detta och några andra begrepp. För att resonemanget över huvud skall vara intressant tänker vi oss hela tiden att samhället har minst två medlemmar, och att det finns minst tre alternativ att välja mellan.

Antag att det faktiskt finns just tre alternativ, som vi kan kalla för X, Y och Z, tillgängliga. Med uttömmande av alla logiska möjligheter kan dessa alternativ rangordnas på de sex sätt som anges i tabell 6. Om antalet alternativ är större än tre blir naturligtvis antalet logiskt möjliga rangordningar också större; antalet rangordningar växer som lätt inses snabbt med antalet alternativ.
 
 

 
1:a plats
2:a plats
3:e plats
1:a sättet
X
Y
Z
2:a sättet
X
Z
Y
3:e sättet
Y
X
Z
4:e sättet
Y
Z
X
5:e sättet
Z
X
Y
6:e sättet
Z
Y
X
Tabell 6

Att en individ rangordnar de tillgängliga alternativen är sålunda liktydigt med att individen bestämmer sig för en av de logiskt möjliga rangordningarna. En individ som i fallet med de tre alternativen X, Y och Z tycker att Y är bättre än Z, och Z bättre än X kan sålunda också sägas välja den 4:e rangordningen.

Vi tänker oss nu att var och en av individerna i samhället väljer någon av de logiskt möjliga preferensordningarna. När detta skett föreligger vad vi kan kalla för ett samhälleligt åsiktsläge. Ett åsiktsläge karakteriseras alltså av en viss bestämd fullständig rangordning av alternativen för var och en av individerna i samhället. När vi vet hur varje individ rangordnar samtliga tillgängliga alternativ känner vi därmed också åsiktsläget.

Självfallet finns det ett mycket stort antal möjliga åsiktslägen, och antalet ökar snabbt med antalet alternativ och antalet individer i samhället. Om samhället t ex innehåller tre individer, och det finns tre alternativ tillgängliga, så blir antalet möjliga åsiktslägen 6×6×6 = 216 stycken. Den första individen kan ju välja en av sex möjliga rangordningar; för varje sådant val kan den andra individen i sin tur göra ett av sex möjliga val; och för varje tänkbar valkombination för de två första individerna kan den tredje individen i sin tur välja på sex olika sätt.

Vi kan nu precisera det viktiga begreppet beslutsregel. Med en beslutsregel menar Arrow en regel som för varje tänkbart åsiktsläge bestämmer en viss för hela samhället gällande preferensordning mellan de tillgängliga alternativen. Om vi t ex tänker oss att samhället har tre medlemmar, och att det finns tre alternativ att välja mellan, så finns, som vi redan sett, 216 möjliga åsiktslägen. För vart och ett av dessa åsiktslägen fastställer beslutsregeln att en av de sex möjliga rangordningarna av alternativen skall gälla som samhällets beslut. Allmänt gäller alltså att när vi känner åsiktsläget och beslutsregeln så vet vi därmed också vilken av de möjliga rangordningarna som blir samhällets beslut.

Det är viktigt att framhålla hur generellt detta beslutsregelsbegrepp är. En del kända och namngivna beslutsregler, t ex den tidigare beskrivna Bordaregeln, är beslutsregler enligt Arrows definition. Men en beslutsregel i Arrows mening behöver inte på detta sätt vara baserad på någon enkel formel eller något enkelt beräkningsförfarande. I princip kan en beslutsregel mycket väl beskrivas genom en uppräkning sådan att man för varje tänkbart åsiktsläge i tur och ordning anger vilken den beslutade rangordningen blir. Det enda kravet på regeln är alltså att den för varje åsiktsläge, på ett eller annat sätt, entydigt anger vilken rangordning av alternativen som blir samhällets beslut.

Det är också viktigt att observera att beslutsregeln, så som begreppet definierats här, för varje åsiktsläge fastställer en komplett samhällelig rangordning av alternativen, inte bara ett bästa alternativ. Detta förhållande kommenteras ytterligare i avsnittet "Vägar förbi Arrows resultat".

För att enklare kunna föra resonemanget vidare är det lämpligt att införa beteckningen p för "prefereras framför". Uttrycket XpY betyder t ex att alternativet X prefereras framför Y. Det är viktigt att förstå att beteckningen inte säger något om hur många alternativ det i den aktuella rangordningen finns mellan X och Y, utan enbart anger att X kommer före Y. I tabell 6 är sålunda XpY sant för rangordningarna 1, 2 och 5.

Vi är nu framme vid de omtalade kraven på beslutsregeln.

Det första kravet är att beslutsregeln skall vara universell, vilket helt enkelt innebär att den skall ge ett resultat för varje logiskt tänkbart åsiktsläge. Detta krav är uppenbarligen tillgodosett redan i definitionen av beslutsregelsbegreppet ovan. Som vi senare skall se kan emellertid en del åsiktslägen av olika skäl anses så osammanhängande, eller osannolika, att det är onödigt att kräva att de resulterar i något gemensamt beslut. Det är just sådana inskränkningar som utesluts av universalitetskravet.

Det andra kravet är att preferensrelationen i besluten skall vara transitiv, vilket bl a utesluter cykliska ordningar av det slag som tidigare exemplifierades med Condorcetparadoxen. Även detta krav är tillgodosett redan i vår definition av beslutsregelsbegreppet. Enligt den definitionen måste ju ett beslut vara en vanlig "rak" rangordning av samtliga tillgängliga alternativ.

Det tredje kravet är att besluten skall vara oberoende av irrelevanta alternativ. Detta innebär att ordningsföljden mellan två alternativ i ett beslut skall vara beroende av, och enbart beroende av, ordningsföljden mellan just dessa båda alternativ i de enskilda individernas preferensordningar. Mer konkret kan kravet beskrivas med hjälp av det tidigare exemplet i tabell 2. Om man där tillämpar Bordas metod så vinner, som vi tidigare sett, alternativet Y. Antag nu att alternativet Z av någon anledning försvinner, omröstningen kan t ex gälla en förtroendepost och den ursprungliga kandidaten Z kan få förhinder p g a sjukdom. Då återstår bara kandidaterna X och Y och eftersom Y skulle bli vald om Z var med så förefaller det rimligt att han väljes också när Z försvinner. Rangordningen mellan X och Y bör ju, kan man tycka, inte påverkas av om Z är med eller ej. Låt oss se hur det faktiskt går. Om Z försvinner blir situationen som i tabell 7.
 
 

Antal
1:a plats
2:a plats
3
X
Y
2
Y
X
Tabell 7

Bordas metod, t ex med platssiffrorna 2 och 1, resulterar uppenbarligen i att X vinner. Ordningen mellan X och Y är alltså beroende av om det "irrelevanta" alternativet Z är med eller ej och Bordas metod uppfyller följaktligen inte kravet på oberoende av irrelevanta alternativ. Att Condorcets metod däremot uppfyller kravet är lätt att se. Det majoritetsförfarande som där bestämmer rangordningen mellan två alternativ i beslutet påverkas ju enbart av hur de enskilda individerna rangordnar just de alternativen.8

Trots att kravet på oberoende av irrelevanta alternativ kan te sig nog så rimligt är det mer ifrågasatt än något annat av Arrows krav. En del av de skäl som kan anföras mot kravet har också en betydande rimlighet. När man tränger in i saken förlorar den därför en del av den självklarhet den i förstone kanske kan synas ha. Denna diskussion lämnar jag emellertid åt sidan tills vidare. Just nu nöjer vi oss med att införa kravet och härleda konsekvenserna.

Det fjärde kravet säger att beslutsregeln skall respektera enighet hos samhällsmedlemmarna. Om alla samhällsmedlemmar rangordnar två alternativ på samma sätt så skall dessa båda alternativ då också, det är kravets innebörd, rangordnas på samma sätt i beslutet.

Det femte kravet säger att ingen diktator får finnas. Med en diktator menas en medlem i samhället som ensam kan diktera varje samhällsbeslut. Om beslutet sålunda alltid, och för två godtyckliga alternativ X och Y, blir XpY närhelst en viss bestämd enskild individ tycker XpY så är denna individ en diktator i den tänkta bemärkelsen. Någon sådan diktator får inte finnas.

Det sjätte kravet slutligen säger att beslutsregeln skall reagera positivt på förändringar i åsiktsläget. Innebörden kan beskrivas så här. Vi tänker oss först att samhällets medlemmar delas in i två grupper eller delmängder som vi kallar för A och B. I figur 1 anger den yttre heldragna cirkeln alla medlemmarna i samhället och den inre heldragna cirkeln mängden A. Ytan mellan de båda heldragna cirklarna representerar sålunda mängden B. Därefter övergår vi till samhällsmedlemmarnas preferenser och fokuserar intresset på speciellt två alternativ, som vi kallar för S och T. Antag nu att alla medlemmar i A tycker SpT och att alla medlemmar i B tycker tvärtom, d v s TpS. Vi har alltså ett åsiktsläge som bl a karakteriseras av följande:
 
A SpT
B TpS

Våra tidigare krav på beslutsregeln säger ju bl a att den skall ge ett resultat för varje tänkbart åsiktsläge och också att ordningsföljden mellan två alternativ i beslutet skall vara beroende av, och enbart beroende av, hur just dessa båda alternativ är ordnade i förhållande till varandra i de individuella preferensordningarna. Eftersom vi vet hur S och T är ordnade i de individuella preferensordningarna är alltså betingelserna för att beslutsregeln skall ge ett resultat för just dessa alternativ uppfyllda. Vi antar att detta resultat blir SpT, d v s att beslutet går A:s väg.9
 
 

Figur 1

Efter detta ändrar vi nu något på det antagna åsiktsläget. Vi tänker oss att alla individer som befinner sig innanför den streckade cirkeln i figuren, och som vi kallar för mängden c, byter åsikt från TpS till SpT, men att allt annat är oförändrat. Vi får då ett nytt åsiktsläge som ser ut så här:
 
A + c SpT
B ­ c TpS

Kravet på positiv reaktion på förändringar innebär nu helt enkelt att beslutet fortfarande skall bli SpT. Mer allmänt kan kravet formuleras så här. Om beslutsregeln för ett visst åsiktsläge ger ett visst resultat, och om de som ursprungligen stödde detta beslut håller fast vid sin uppfattning, och dessutom utökas med ytterligare ett antal individer, så skall beslutet förbli detsamma.10 Detta krav kan förvisso synas rimligt men det följer inte av någonting vi sagt tidigare. Det ligger t ex inte som universalitets- och transitivitetskraven implicit i definitionen av beslutsregelsbegreppet. Därför måste kravet formuleras separat.

I anslutning till resonemanget kring figur 1 är det nu också möjligt att definiera det för beviset centrala begreppet avgörande mängd. Om alla medlemmar i A förespråkar SpT, och alla andra medlemmar i samhället, d v s alla i B, förespråkar motsatsen TpS, så blir ju beslutet enligt det antagande vi nyss gjorde SpT. Med hänsyn till åtminstone just S och T kan alltså A sägas diktera beslutet. Om alla medlemmar i A föredrar S framför T så blir ju detta också samhällets beslut, oavsett vad alla övriga säger. A säges därför vara en avgörande mängd för SpT.

En första förtydligande kommentar till detta begrepp är att en avgörande mängd alltid är avgörande för ett visst par av alternativ. Den mängd som i vårt exempel är avgörande för S och T är alltså inte, enligt defintionen av begreppet avgörande mängd, därigenom också avgörande för några andra alternativ, t ex S och U, eller U och V. Den kan naturligtvis råka vara det, men det ingår inte i definitionen. Det är t o m väsentligt att S och T är ett s k ordnat par. Att A är avgörande för till SpT innebär alltså inte, enligt definitionen, att A är avgörande för TpS. Återigen kan det naturligtvis råka vara så, men det ingår inte i definitionen av begreppet avgörande mängd.

En andra kommentar är att det till ett visst ordnat par av alternativ kan finnas flera avgörande mängder. I vårt exempel är sålunda inte bara A avgörande för SpT, utan detsamma gäller också, och p g a kravet på positiv reaktion på förändringar, alla mängder som innehåller A, t ex mängden A + c liksom förstås samhället i dess helhet.

En tredje kommentar är att det till varje ordnat par av alternativ alltid finns åtminstone en avgörande mängd. Om inte annat så är ju alltid samhället i sin helhet avgörande, vilket följer av kravet att beslutsregeln skall respektera ett enigt samhälle.

Arrows teorem säger nu att det inte finns någon beslutsregel som uppfyller alla kraven ovan, en sådan regel är en logisk omöjlighet. Om en regel t ex uppfyller alla andra krav än det att det inte får finnas en diktator så låter det sig visas att den med nödvändighet bryter mot just detta sista krav, d v s man kan visa att det då faktiskt finns en diktator. Vi skall nu göra detta, och är därmed inne på det egentliga beviset.

Vi har redan konstaterat att det för varje ordnat par av alternativ finns en avgörande mängd, om inte annat så är ju åtminstone samhället i dess helhet avgörande. Vi har också sett att en del avgörande mängder, för en del ordnade par, kan tänkas vara mindre än samhället i dess helhet. Kort sagt finns alltid en uppsättning avgörande mängder av möjligen varierande storlek. Vi tänker oss nu vidare att vi räknar antalet medlemmar i varje avgörande mängd och speciellt intresserar oss för de minsta av dessa mängder. Det kan t ex tänkas finnas ett betydande antal avgörande mängder med mer än fem medlemmar, tre mängder med just fem medlemmar, och inga mängder med mindre än fem medlemmar. I så fall innehåller alltså de minsta mängderna just fem medlemmar. I det allmänna fallet måste vi alltid kunna identifiera någon eller några mängder sådana att det inte finns några mängder med mindre antal medlemmar än just dem.

Vi väljer nu ut en av dessa minsta mängder och betecknar just den mängden M. Den mängden är alltså bestämd, den består av någon eller några namngivna personer av kött och blod, t ex herr Söderström, fru Blomkvist, o s v. Vidare betecknar vi det par av alternativ för vilka just den mängden är avgörande XpY. Detta är alltså inte heller något godtyckligt par av alternativ utan just det bestämda par för vilket den mängd vi plockat ut är avgörande. Om t ex alternativen är olika orter för en tilltänkt flygplats så kan de faktiska och namngivna orterna Storveda och Småhult tänkas vara just sådana bestämda alternativ. Det är för att markera alternativens på detta sätt bestämda karaktär som de strukits under.

Hittills har vi sagt att M kan innehålla någon eller några medlemmar och således lämnat frågan om dess storlek öppen. I själva verket måste emellertid M innehålla exakt en medlem, och demonstrationen av detta är bevisets första led.

Vi väljer ut en enskild medlem i M som vi kan kalla för d. Alla övriga medlemmar i M sammantagna kallar vi för j. Vidare kallar vi alla medlemmar i samhället som inte tillhör M för mängden N. Vi har alltså gjort en uppdelning sådan som den i figur 2. Eftersom samhället består av minst två medlemmar måste det finnas åtminstone en medlem i antingen mängden j eller N. Båda dessa mängder kan inte vara tomma ty i så fall skulle ju individen d ensam utgöra hela samhället. Utöver alternativen X och Y för vi också in det ytterligare alternativet Z i diskussionen (ett sådant alternativ finns ju säkert eftersom antalet alternativ är minst tre). Z är emellertid hela tiden i resonemanget godtyckligt och står alltså alltid för ett alternativ vilket som helst utom just X eller Y. Z är alltså vad man brukar kalla en variabel och är just därför inte understruken. Med utnyttjande av variabeln Z tänker vi oss nu ett åsiktsläge som bl a karakteriseras av följande:11
 
d XpYpZ
j ZpXpY
N YpZpX

Låt oss nu först se på alternativen X och Y. Eftersom alla medlemmar i mängden M, d v s d + j, tycker XpY, och eftersom M är avgörande i avseende på XpY, så blir samhällets beslut XpY.
 
 

Figur 2

När det sedan gäller alternativen Y och Z så måste samhällets beslut bli YpZ. Blev beslutet istället det omvända, d v s ZpY, skulle det ju innebära att j är en avgörande mängd för ZpY - alla medlemmar i j tycker ju ZpY och alla medlemmar utanför j, d v s d + N, tycker YpZ. Att j är en avgörande mängd strider emellertid mot antagandet att det inte finns någon avgörande mängd mindre än M.

Vi vet alltså nu att samhällsbeslutet bl a får inslagen XpY och YpZ. Av detta och transitivitetskravet följer emellertid att samhällsbeslutet blir XpYpZ, d v s att också XpZ blir ett inslag i beslutet. Av beskrivningen av åsiktsläget framgår emellertid att individen d är den enda samhällsmedlemmen som tycker XpZ. Alla övriga tycker tvärtom. Alltså är d avgörande för XpZ. Eftersom det inte finns någon mindre avgörande mängd än M måste detta emellertid innebära att mängden j är tom, d v s saknar medlemmar, ty i annat fall skulle ju mängden d vara mindre än mängden M. Mängden d, vilken enligt vårt antagande består av en enda individ, sammanfaller alltså med mängden M.

Enligt förutsättningarna är M avgörande för XpY och naturligtvis är då den ensamma individen d det också - enligt vad vi nu vet är ju M och d bara olika namn på samma mängd. Vi vet alltså nu att d ensam dikterar XpY och därmed är första halvan av beviset avslutad. Vad som återstår är att visa är att d dikterar också alla andra ordnade par av alternativ.

Att d också dikterar XpZ framgår klart av det redan förda resonemanget. Vi har ju just sett att XpZ måste vara ett inslag i samhällsbeslutet och eftersom d är den enda individ som förträder den uppfattningen i det beskrivna åsiktsläget är d dessutom avgörande för XpZ.

Vi vet alltså nu att d är avgörande för XpY och dessutom för XpZ, där Z är ett godtyckligt alternativ annat än X eller Y. Om vi inför variabeln U, som kan vara vilket alternativ som helst utom X (och som alltså representerar både Y och Z), så vet vi alltså att d är avgörande för XpU. Individen d är alltså avgörande för alla tänkbara par av alternativ som har X som första element. Detta är ett steg på vägen mot att visa att d är avgörande för alla par av alternativ över huvud taget, även om ytterligare ett par steg återstår.

Vi inför nu den nya variabeln V, som står för ett alternativ vilket som helst utom X och det alternativ som U för tillfället råkar stå för (detta sista innebär alltså att U och V aldrig samtidigt kan stå för samma alternativ). Med utnyttjande av denna nya variabel tänker vi oss ett åsiktsläge som bl a karakteriseras av följande:
 
d VpXpU
N UpVpX

Återigen frågar vi oss vad som kan sägas om samhällets beslut i detta fall. Eftersom d är avgörande för XpU måste XpU vara ett inslag i beslutet. VpX måste också vara ett inslag eftersom alla samhällsmedlemmarna tycker så. Och på samma sätt som tidigare medför också dessa båda inslag, tillsammans med transitivitetskravet, att VpU blir ett inslag i beslutet. Eftersom det bara är d som tycker VpU, så är emellertid d avgörande för VpU. I detta andra steg har vi alltså visat att d är avgörande för vilket par av alternativ som helst i vilket X inte alls ingår.

Vi har nu visat att d är avgörande för vilket par som helst i vilket X ingår som första element, och för alla par som inte alls innehåller X. Vad som återstår är alltså att visa att d också är avgörande för par i vilka X ingår som andra element.

I detta sista steg använder vi oss återigen av variablerna U och V som alltså kan anta vilka värden som helst utom X, och som dessutom måste stå för olika alternativ sinsemellan. Det åsiktsläge som vi i detta fall använder oss av karakteriseras bl a av följande:
 
d UpVpX
N VpXpU

Resonemanget förs på samma sätt som tidigare. Eftersom d är avgörande för UpV måste ett första inslag i beslutet vara UpV. Vidare leder enhälligheten till att VpX blir ett andra inslag. Slutligen medför transitivitetskravet att UpX blir ett inslag. Men återigen ser vi att det bara är d som tycker UpX och följaktligen är d avgörande för UpX. Individen d är alltså avgörande också för godtyckliga par med X som andra element. Därmed är det alltså bevisat att d är avgörande för alla tänkbara par av alternativ, d v s d är precis en sådan diktator som enligt vårt femte krav på beslutsregeln inte får lov att finnas. Av det sätt på vilket mängden M, och mängden d, definierats följer förstås att d är en enskild namngiven person, t ex den tidigare nämnde herr Söderström.

För att få en intuitiv känsla för detta resultats innebörd kan man tänka sig att det faktiskt finns en diktator och se vad detta innebär med hänsyn till de övriga kraven. Det är då lätt att se att dessa är förenliga med diktatorns existens. Uppenbarligen tillgodoser beslutsregeln universalitetskravet om det finns en diktator, ty vilket åsiktsläge som än råder så bestämmer ju beslutsregeln ett resultat, nämligen just diktatorns rangordning av alternativen. Regeln uppfyller förstås också transitivitetskravet, eftersom diktatorns egen rangordning, som blir samhällets beslut, gör det. Besluten är vidare oberoende av irrelevanta alternativ eftersom ordningen mellan två alternativ i samhällets beslut enbart beror av hur dessa båda alternativ är ordnade i förhållande till varandra i diktatorns egen rangordning. Kravet på respekt för ett enigt kollektiv är också tillgodosett eftersom diktatorn tycker som alla andra då alla tycker på samma sätt. Att slutligen kravet på positiv reaktion på förändringar är tillgodosett är uppenbart. Om diktatorn tycker på ett visst sätt så blir ju detta samhällets beslut även om ytterligare medlemmar i kollektivet delar diktatorns uppfattning.

Existensen av en diktator är alltså förenlig med de övriga kraven på beslutsregeln. Det är också lätt att se att diktatorn kan vara vem som helst. Så länge Andersson ensam, eller Pettersson ensam, eller Lundström ensam bestämmer allting så är övriga krav på beslutsregeln uppfyllda. Att dessa övriga krav inte kan tillgodoses på annat sätt än med en diktator, vilket ju är vad vi bevisat, är måhända svårare att inse intuitivt. Men det är åtminstone möjligt att peka på omöjligheten av några tänkbara utvägar. Att t ex dela upp diktaturen så att Andersson är diktator för en del frågor, t ex inrikespolitiken, och Pettersson för andra frågor, t ex utrikespolitiken, är omöjligt eftersom alternativen i den valda problemformuleringen inte är uppdelade i grupper på det sättet. Eftersom alla alternativ skall ordnas i en enda rangordning ingår de istället i samma grupp, de tillhör alla s a s samma "politik". Att den vanliga majoritetsregeln också är omöjlig p g a Condorcetparadoxen har vi redan sett. På samma sätt kommer varje förslag till annan beslutsregel än diktaturen att visa sig omöjlig så länge de övriga kraven på beslutsregeln är uppfyllda.
 

ARROW OCH ROUSSEAU

Avsikten med de voteringar som hittills behandlats i detta kapitel har varit att välja en person, en offentlig budget, eller något liknande. Voteringarna har alltså genomgående tänkts vara av det slag som voteringar brukar vara. Men även om Arrow också tänkte på sådana voteringar, och uttryckligen menade att hans analys var tillämpbar på dem, så hade hans intresse för samhällsbeslut sin upprinnelse i ett åtminstone på ytan sett helt annat sammanhang, nämligen den ekonomiska välfärdsteorin.

Det mest grundläggande problemet inom denna teori är konstruera, eller hitta, ett värdekriterium varmed olika totala samhällstillstånd kan värderas, och följaktligen också rangordnas med hänsyn till sina respektive värden (se även avsnittet "Välfärdsteori" i Appendix). Tanken är att man med utgångspunkt från uppgifter om vilka olika materiella tillgångar som finns i olika samhällstillstånd, uppgifter om hur dessa tillgångar är fördelade på människorna, uppgifter om hur mycket de olika samhällsmedlemmarna arbetar, o s v, skall kunna rangordna samhällstillstånden. Uppgiften för politikerna och välfärdsteknikerna blir därefter att styra samhällsutvecklingen så att så högt rangordnade samhällstillstånd som möjligt förverkligas. Därmed blir ju samhället, enligt det tillämpade kriteriet, så gott som möjligt.

Det som Arrow nu egentligen intresserade sig för var de teoretiska möjligheterna att verkligen rangordna samhällstillstånd på det angivna sättet och han ville angripa det problemet så generellt som möjligt. Han föreställde sig då att samhällsmedlemmarna kunde rangordna olika tänkbara samhällstillstånd och ställde sig frågan om dessa individuella rangordningar på något sätt kunde sammansmältas (amalgamate, Arrow 1951, s 2) till en för alla samhällsmedlemmar gemensam rangordning av samhällstillstånden. Kan det problemet lösas så har, menade Arrow, välfärdsteorins huvudproblem, så som det formulerats ovan, sannolikt också en lösning. Kan problemet däremot inte lösas så är välfärdsteorins huvudproblem sannolikt också olösbart. Naturligtvis kan det diskuteras om välfärdsteorins huvudproblem och Arrows "sammansmältningsproblem" verkligen har så mycket gemensamt som Arrow föreställde sig, men eftersom syftet här bara är att redogöra för Arrows idéer kan vi bortse från den frågan.

Alternativen i Arrows huvudresonemang, d v s de alternativ som i föregående avsnitt betecknats med bokstäver som X, Y och Z, är alltså inte kandidater till olika poster, budgetförslag eller någonting sådant. Alternativen är istället totala samhällstillstånd. Arrow skrev själv så här (s 17):

In the present study the objects of choice are social states. The most precise definition of a social state would be a complete description of the amount of each type of commodity in the hands of each indivdual, the amount of labor to be supplied by each individual, the amount of each productive resource invested in each type of productive activity, and the amounts of various types of collective activity, such as municipal services, diplomacy and its continuation by other means, and the erection of statues to famous men. It is assumed that each individual in the community has a definite ordering of all conceivable social states, in terms of their desirability to him. It is not assumed here that an individual's attitude toward different social states is determined exclusively by the commodity bundles which accrue to his lot under each. It is simply assumed that the individual orders all social states by whatever standards he deems relevant. Arrow tänkte sig inte, naturligtvis skall kanske tilläggas, att omröstningar med alternativ av det beskrivna slaget skulle kunna genomföras i praktiken. Hans syfte var i grunden bara att undersöka om en för alla samhällsmedlemmar gemensam rangordning, som i någon rimlig bemärkelse representerar en sammansmältning av alla individuella rangordningar, existerar. Skulle så visa sig vara fallet fick metoderna för det rent praktiska förverkligandet av ett så högt rankat samhällstillstånd som möjligt därefter bli en separat fråga. Det skulle kanske kunna ske genom marknadsmekanismer, genom voteringar, eller kanske sannolikast genom någon lämplig blandning av dessa båda förfaringssätt.

Eftersom Arrows teorem kan tolkas så att det inte går att sammansmälta de individuella rangordningarna av samhällstillstånd på något rimligt sätt, så borde därav också följa att den ekonomiska välfärdsteorins huvudproblem, att bestämma en samhällelig välfärdsfunktion, inte har någon lösning. Arrows egen slutsats går också i den riktningen. Han drar inte bara slutsatsen att det knappast finns någon rationell voteringsmetod utan tenderar också att underkänna marknaden. "Similarly", skriver han, "the market mechanism does not create a rational social choice" (s 59). Han är emellertid inte kategorisk eftersom han är väl medveten om att problemformuleringen, de uppställda kraven, o s v, kan diskuteras. Att Arrow likväl uppdagat ett väsentligt problem för välfärdsteoretikerna, liksom för konstruktörer av voteringsregler, är uppenbart. För att lyckas är båda kategorierna tvungna att på ett eller annat sätt ta sig förbi hans resultat. Möjligheterna till detta skall jag emellertid inte ta upp förrän i nästa avsnitt.

Här fortsätter jag istället med en annan aspekt av Arrows resonemang, nämligen dess rousseauanska karaktär. Det avgörande därvidlag är att Arrow inte anför några invändningar mot välfärdsteoretikernas själva grundidé att bestämma en gemensam rangordning av totala samhällstillstånd. Skulle det gå att bestämma en sådan rangordning så vore, så måste man förstå Arrow, allt väl. Arrow känner emellertid tvivel och finner, när han undersöker saken, att det inte går. Själva idén med en gemensam rangordning av totala samhällstillstånd finner han emellertid inte anstötlig. Eventuellt går det att bestämma en sådan rangordning, och då är allt väl, eventuellt går det inte, vilket då närmast är att beklaga. Sådan är andemeningen i Arrows bok.

Jag har ju redan tidigare sagt att James Buchanan, som behandlas utförligare i nästa kapitel, har en annan grundsyn på de samhälleliga beslutsfrågorna och ett citat från honom kan därför användas för att ge lite perspektiv på Arrow (Buchanan 1979, s 150):

As I said, I was unhappy with the Arrow book, and more importantly, with all of its reviewers, for a failure to sense what was, to me, a very significant aspect of constitutional democracy. Arrow, and all of his reviewers, seemed unhappy with his general conclusion; they seemed to feel that things would have been so much nicer had his proof turned out the other way. ..... From all this, I concluded that despite the fact that his whole structure of analysis was based on individual preference orderings, Arrow did not conceive governmental process as emerging basically from individual values. Detta är grundläggande. Gemensamt för Arrow och Buchanan är att de båda strävar efter att placera marknadsbeslut och politiska beslut under samma analytiska hatt. Hatten ser emellertid mycket olika ut i de båda fallen. Eftersom jag återkommer till Buchanan i nästa kapitel är det just nu tillräckligt att säga att hans grundidé är att alla individer, var och en med sina preferenser, skall respekteras och i möjligaste mån ges utrymme att förverkliga just sina värden. Detta är huvudsyftet med den samhälleliga ordningen. För Arrow handlar det istället om att sammansmälta (amalgamate) alla de enskilda viljorna till ett enda gemensamt samhälleligt beslut.

Det sagda kan illustreras med några citat från Arrow. På ett ställe skriver han så här (s 1): "In a capitalist democracy there are essentially two methods by which social choices can be made: voting, typically used to make "political" decisions, and the market mechanism, typically used to make "economic" decisions". På ett annat ställe (s 2) heter det att "The methods of voting and the market, on the other hand, are methods of amalgamating the tastes of many indididuals in the making of social choices." På ett tredje ställe (s 5) säger han om sin metod att "the distinction between voting and the market mechanism will be disregarded, both being regarded as special cases of the more general category of collective social choice."

På samma sätt som Rousseau suddar alltså Arrow ut alla skillnader mellan offentligt och privat, och på samma sätt gör han det samhälleliga beslutet, resultatet av sammansmältningen, till det enda intressanta. Allting handlar om att fatta samhälleliga beslut, ingenting om att avgränsa utrymmen inom vilka de enskilda individena fritt kan fatta sina egna beslut. Det är detta synsätt och denna inriktning som gör Arrow till Rousseauan. Den gemensamma rangordningen mellan totala samhällstillstånd, vilken Arrow ju acepterar som idé, tillhör samma idékrets som Rousseaus allmänna vilja. Till denna idékrets hör också en lång rad andra likartade föreställningar, t ex om en "folkvilja", om ett "gemensamt bästa", om "nationella mål", om "samhällelig rationalitet", o s v. Det gemensamma för alla dessa föreställningar är att de på ett eller annat sätt innebär att kollektivet individualiseras och ges mänskliga egenskaper. Trots att Arrow i huvudsak resonerar med utgångspunkt från individuella preferenser, och dessutom på ett formellt mycket stringent sätt, så avviker han ändå på en avgörande punkt från den metodologiska indivdualismen. Det är därför Buchanan kunde skriva att "Arrow did not conceive governmental process as emerging basically from individual values".

Nu låter det sig naturligtvis sägas att Arrows intresseinriktning inte nödvändigtvis behöver vara så kopplad till rousseauanska idéer som den faktiskt blivit i just hans fall. Som vi såg i kapitel 2 så måste ju alltid åtminstone en del beslut i ett samhälle vara kollektiva, och då måste ju någon sorts beslutsregler komma till användning. Att fundera över hur sådana beslutsregler lämpligen bör vara beskaffade kan därför i sig knappast vara något fel. Karakteristiskt för såväl Arrow som de övriga forskare som nämns i detta kapitel, inklusive de två följande avsnitten, är emellertid att de krav som läggs på beslutsreglerna, med undantag för kravet på icke-diktatur, inte på något naturligt sätt förefaller emanera från de enskilda medlemmarna i samhället eller kollektivet. "Vad innebär den eller den beslutsregeln för just mig?", är en rimlig fråga för den enskilde individen. Det är ju egentligen först när individen vet någonting om detta som han eller hon på ett rationellt sätt kan bestämma sig för att bli medlem i ett visst kollektiv, eller, vilket kanske är vanligare, förlika sig med sitt oundvikliga medlemskap. Men frågor av detta slag varken ställs eller besvaras av de författare som refereras här. Vetskapen att beslutsregeln t ex är oberoende av irrelevanta alternativ är ju till föga hjälp för den som överväger att gå in i ett kollektiv. Däremot är det viktigt att veta vilka ärenden som avgöres gemensamt, vilken eller vilka beslutsregler som då tillämpas, hur beslutsreglerna beror på sådant som ärendenas karaktär, kollektivets storlek, kollektivets värdemässiga gemenskap, o s v. Alla dessa aspekter är, som vi kommer att se i nästa kapitel, av största betydelse för den enskilde. Likväl lämnas de helt åt sidan av de författare som behandlas här, och dessa författares krav på sina beslutsregler är knappast ens av sådan karaktär att de nämnda aspekterna kan beaktas. I den bemärkelsen kan kraven sägas vara anlagda utifrån, eller ovanifrån, och vara av närmast "estetisk" karaktär. De emanerar inte från individernas behov.12
 

VÄGAR FÖRBI ARROWS RESULTAT

Det resultat som Arrow presenterade 1951 har följts av en omfattande diskussion som resulterat i en stor mängd publicerade arbeten med såväl voteringsteknisk som välfärdsteoretisk inriktning. I en del fall har diskussionen gällt möjligheter att undgå Arrows negativa resultat, att trots allt hitta rimliga eller godtagbara voteringsmetoder. Åtskilliga sådana tänkbara vägar förbi Arrows resultat har föreslagits, men jag begränsar mig i detta avsnitt till att beskriva tre. I andra fall har Arrow genom sin metod snarare inspirerat forskare till likartade problemformuleringar och deduktioner. I nästa avsnitt tar jag upp ett sådant resultat. Några ytterligare formella bevis presenteras emellertid inte. Beviset för Arrows teorem får räcka som smakprov.

Den första av de möjligheter att undgå Arrows resultat som jag tar upp bygger på en kritik av Arrows krav att beslutsregeln skall ge ett resultat för varje tänkbart åsiktsläge. Varför, har en del forskare frågat sig, måste varje tänkbart åsiktsläge vara med? Finns det inte åsiktslägen som är så konstiga, eller osammanhängande, att de borde kunna uteslutas? Och skulle inte detta i så fall kunna öppna en väg förbi Arrows negativa resultat?

Ett intressant sätt att begränsa mängden åsiktslägen har föreslagits av ekonomen Duncan Black. Redan innan Arrow publicerade Social Choice and Individual Values hade han i en diskussion av Condorcetparadoxen infört begreppet "single-peakedness condition" (1948), vilket på svenska kan betecknas entoppsvillkoret. Innebörden kan beskrivas med utgångspunkt från en endimensionell skala, t ex en vänster-höger-skala, och ett antal alternativ som placeras på olika ställen utefter skalan (figur 3). Antag att den enskilda individen a själv tycker sig höra hemma i punkten a på skalan, d v s den punkten representerar hans egen åsikt. Det förefaller då naturligt att a också tycker att alternativet B för honom är bättre än A, d v s ju längre vänsterut från a:s egen position ett alternativ ligger, desto sämre är det för a. På samma sätt verkar det också rimligt att C är bättre för a än vad D är, att D är bättre än E, och E bättre än F, d v s ju längre högerut man kommer från a:s position, desto sämre ter sig alternativen för a. Om nu a faktiskt värderar de olika alternativen på detta sätt så kan hans preferenser sägas ha en enda topp, vilken representeras av hans egen position på skalan. Från den toppen går det utför åt båda hållen, d v s alternativens värde avtar successivt.
 
 
Figur 3

Antag nu att varje medlem i samhället, på samma sätt som a, kan representeras av en punkt skalan, punkten för individens åsikt. Antag vidare att själva skalan faktiskt är gemensam för, eller accepterad av, alla medlemmar i den bemärkelsen att alternativen, för varje individ, successivt blir mindre värdefulla ju längre bort utefter skalan från individens egen position man rör sig i endera riktningen. I så fall är Blacks entoppsvillkor uppfyllt.

Låt oss nu se på vilket sätt entoppsvillkoret inskränker de möjliga individuella preferensordningarna. Individen a kan uppenbarligen inte ha en preferensordning som innehåller t ex EpD eller ApB. Detta skulle ju strida direkt mot entoppsvillkoret. Däremot säger villkoret ingenting om förhållandet mellan t ex B och C, eller förhållandet mellan D och B. Individen a kan antingen tycka BpC eller CpB, och han eller hon kan på samma sätt antingen tycka BpD eller DpB. Villkoret säger alltså ingenting om hur alternativen på de båda sidorna om a:s position skall värderas i förhållande till varandra. Det enda som villkoret kräver är att alternativen, på vardera sidan tagen för sig, successivt tappar i värde när man avlägsnar sig från a:s position.

Vad Black visade (1948) var att om de individuella preferensordningarna uppfyller entoppsvillkoret så kan majoritetsregeln inte leda till några cykliska beslut, d v s Condorcetparadoxen försvinner. Majoritetsregeln ger alltså under denna betingelse, och till skillnad från vad som är fallet då de individuella preferensordningarna kan se ut hur som helst, alltid ett resultat. Dessutom visade han att detta resultat sammanfaller med den s k medianmedlemmens uppfattning (se avsnittet "Medianväljarteoremet" i kapitel 6).

Detta innebär att också Arrows problem försvinner om entoppsvillkoret är uppfyllt. Ett tillgodoseende av alla övriga krav på beslutsregeln medför då inte med nödvändighet diktatur eftersom också majoritetsregeln uppfyller de övriga kraven.13 I detta fall pekar majoritetsregeln dessutom inte bara ut ett bästa resultat utan en komplett samhällelig rangordning mellan alternativen som uppfyller transitivitetsvillkoret, d v s som är rak eller icke-cyklisk.

Av dessa resultat följer naturligtvis att om majoritetsregeln inte pekar ut ett bästa alternativ, så uppfyller de individuella preferensordningarna inte entoppsvillkoret. Figur 4, som utgår från exemplet i tabell 4, illustrerar de svårigheter man stöter på då man försöker lösa det omöjliga problemet att hitta en gemensam endimensionell skala sådan att entoppsvillkoret uppfylls. I detta fall är det gruppen med två medlemmar som ställer till problem. Rent allmänt kan hävdas att entoppsvillkoret är hårt - det är lätt att tänka sig sammanhang, t ex sådana då åsiktsskillnader inte låter sig beskrivas med en enda skala (som t ex en vänster höger-skala), då villkoret inte är uppfyllt.
 
 
Figur 4

En annan möjlighet att komma förbi Arrows resultat har sin grund i Arrows krav på att beslutsregeln skall resultera i en komplett samhällelig rangordning av samtliga alternativ, inte bara ett bästa alternativ. Eftersom det i många faktiska beslutssituationer bara gäller att välja ett enda alternativ kan detta synas underligt. Bordas och Condorcets valmetoder syftade ju t ex enbart till att få fram ett enda alternativ, även om de voterande individernas totala preferensordningar utnyttjades i båda fallen. Frågan är därför om Arrows resultat kan undvikas om man formulerar om beslutsproblemet så att det bara gäller att komma fram till ett bästa alternativ istället för till en hel rangordning? Denna fråga har diskuterats bl a av Sen (1970, s 50 ff) och en översikt över problemen finns i Mueller (1989, s 388 ff). Allmänt kan sägas att denna tänkbara väg förbi Arrows resultat knappast är framkomlig. Släpper man kravet på en total beslutad rangordning medför visserligen de övriga kraven på beslutsregeln inte längre diktatur i den ovan preciserade bemärkelsen, men istället uppträder med nödvändighet andra likartade och i grunden lika otrevliga resultat. Mueller (s 389) skriver att "... dictatorial power becomes spread and transformed, but does not disappear entirely".

Den tredje möjligheten att komma förbi Arrows resultat som jag tar upp utgår från en kritik av kravet på beslutsregelns oberoende av irrelevanta alternativ. Flera forskare har ifrågasatt speciellt detta krav på beslutsregeln eftersom de funnit det mindre självklart än Arrows övriga krav och också därför att det finns voteringsmetoder, t ex Bordas metod, som samtidigt uppfyller alla dessa övriga krav. Tidigare har jag redovisat argument för oberoendekravet men nu kommer jag alltså också att peka på argument som talar i motsatt riktning.

Vi kan tänka oss en situation i vilken tre individer skall rangordna de två alternativen A och B (exemplet är med små förändringar taget från Luce & Raiffa 1957, s 341). Vi antar att preferenserna ser ut som i tabell 8, samt att den samhälleliga beslutsregeln i den rådande situationen fastställer beslutet A (som t ex majoritetsregeln).
 
 

Antal
1:a plats
2:a plats
2
A
B
1
B
A
Tabell 8

Antag nu att ytterligare fyra alternativ med följande egenskaper införes.

Alternativ C: Varje medlem i samhället får 1000 kr.
Alternativ D: Varje medlem i samhället får 1 kr.
Alternativ E: Varje medlem i samhället blir av med 1 kr.
Alternativ F: Varje medlem i samhället blir av med 1000 kr.

Antag till sist att de individuella rangordningarna, med de nya alternativen medtagna, ser ut som i tabell 9. De två individerna i majoriteten är alltså ganska likgiltiga beträffande rangordningen mellan de två ursprungliga alternativen A och B. Båda bedöms ju sämre än att få en krona, och bättre än att bli av med en krona. För den ensamma individen i minoriteten ligger det däremot mycket annorlunda till. Det ursprungliga alternativet B värderas högre än 1000 kr, och alternativet A är t o m värre än att bli av med 1000 kr. Skillnaden mellan de båda ursprungsalternativen är alltså mycket stor.
 
 

Antal
1:a plats
2:a plats
3:e plats
4:e plats
5:e plats
6:e plats
2
C
D
A
B
E
F
1
B
C
D
E
F
A
Tabell 9

En tänkbar kommentar till detta exempel är att de nya alternativen faktiskt inte är irrelevanta eftersom de kastar ljus över preferensernas styrka. Med denna nya kunskap är det mycket svårare att hävda att samhällsbeslutet bör bli ApB. Desto rimligare verkar istället belutet BpA. Därmed ter sig också Arrows krav på oberoende av irrelevanta alternativ långt mindre självklart.14

En annan kommentar är att exemplet också får hela idén med samhälleliga voteringar och beslut att framstå i en tveksam dager. Var och en av de två individerna i majoriteten värderar ju skillnaden mellan A och B till högst två kr. För båda individerna tillsammans rör det sig alltså om högst fyra kr. Den ensamma individen i minoritet värderar emellertid skillnaden mellan de båda alternativen till minst 2000 kr. Det finns alltså utrymme för en överenskommelse, eller ett kontrakt, sådant att minoritetsindividen ger de båda andra ett belopp mellan fyra och 2000 kr mot att alternativet B genomförs. På så vis får alla det bättre än eljest. Det förefaller vara en generell brist i det voteringstänkande som presenteras i detta kapitel att förhandlingslösningar av detta slag inte explicit beaktas.15

Hittills har jag diskuterat kravet på "oberoende av irrelevanta alternativ" så att säga för sig, och därvid anfört argument för och emot. Det finns emellertid också ett intressant samband mellan detta och ett annat krav. I det tidigare avsnittet "Condorcet och Borda" diskuterades möjligheten att rösta taktiskt. Jag visade där hur en väljare, eller grupp av väljare, kunde främja det egna högst värderade alternativet genom att uppge falska istället för äkta preferenser. Ett intressant krav på en voteringsmetod är därför att den i möjligaste mån skall vara resistent mot sådana falska deklarationer. Det är lätt att ana att ett sådant krav har stora likheter med kravet på oberoende av irrelevanta alternativ. Det är ju alternativ som åtminstone för den enskilde väljaren är irrelevanta eller ovidkommande som berörs av de falska deklarationerna - det är aldrig av intresse för en väljare att prioritera ned det alternativ som väljaren helst vill ha. Att det faktiskt finns mycket stora logiska likheter mellan kravet på "oberoende av irrelevanta alternativ" och kravet på "resistens mot taktisk röstning" har formellt visats av Blin & Satterthwaite (1978).16 För en del kanske detta stärker argumenten till förmån för kravet på "oberoende av irrelevanta alternativ".
 

MAYS TEOREM

Jag nämnde tidigare att Arrows resultat inte enbart stimulerat till försök att trots allt hitta en acceptabel beslutsregel, utan också till försök att i olika avseenden utveckla Arrows resonemang. Här ges ett exempel på det senare. Arrows krav på oberoende av irrelevanta alternativ innebär ju, som vi sett, att ordningen mellan två godtyckliga alternativ i det samhälleliga beslutet enbart skall bestämmas av ordningen mellan dessa båda alternativ i de individuella rangordningarna. Man kan då undra om något mer kan sägas om det sätt på vilket ordningen mellan de båda alternativen i det samhälleliga beslutet bör bero av deras ordning hos de enskilda samhällsmedlemmarna.

Kenneth O. May (1952) har intresserat sig för detta problem. För att fokusera problemet beträffande rangordningen mellan just två alternativ tänkte sig May att det faktiskt inte finns mer än två alternativ. Hos Arrow stipulerades ju inledningsvis att antalet alternativ var minst tre, men hos May är de alltså exakt två. I övrigt har Mays problemformulering stora likheter med Arrows. Problemet för samhällsmedlemmarna är att rangordna de båda alternativen. Den beslutsregel de därvid använder sig av är en beslutsregel i samma bemärkelse som hos Arrow. Det som skiljer är de krav som ställs på beslutsregeln. May har sammanlagt fyra krav, varav två är tagna från Arrow och två hans egna.

De krav som May hämtar från Arrow är dennes första krav att beslutsregeln skall vara universell, och sjätte krav att regeln skall reagera positivt på förändringar i åsiktsläget (se det tidigare avsnittet "Arrows teorem"). Mays egna krav är dels ett krav på anonymitet, dels ett krav på neutralitet.

Anonymitetskravet innebär att alla samhällsmedlemmar skall behandlas lika. Mer exakt kan kravet formuleras så här: Om ett visst åsiktsläge ger upphov till ett visst samhälleligt beslut genom att en viss beslutsregel tillämpas, så måste beslutet bli detsamma om individerna som har de olika preferensordningarna byter plats, men själva preferensordningarna förblir desamma. Beslutet skall alltså, för att uttrycka sig lite annorlunda, vara oberoende av vilka samhällsmedlemmar som råkar ha de olika individuella preferensordningarna.

Neutralitetskravet innebär på motsvarande sätt att de båda alternativen skall behandlas lika. För att beskriva detta krav kan vi först tänka oss att en viss beslutsregel, för ett visst åsiktsläge, resulterar i det samhälleliga beslutet XpY. Antag sedan att det ursprungliga åsiktsläget ändras så att X och Y byter plats i alla individuella preferensordningar. Då, det är kravets innebörd, måste samhällets beslut bli YpX.

May visade sedan att regeln enkel majoritet (Condorcetregeln) uppfyller de ställda kraven, och dessutom att ingen annan regel gör det. Detta resultat, som brukar kallas för Mays teorem, är intressant på olika sätt. Tidigare har vi sett att majoritetsregeln i det allmänna fallet lider av bristen att kunna ge upphov till cykliska samhälleliga preferensordningar. Vi har emellertid också sett att detta kan undgås om Blacks entoppsvillkor är uppfyllt och att majoritetsregeln då uppfyller Arrows krav. Vi kan nu tillägga att endast majoritetsregeln är tänkbar om vi dessutom vill att anonymitets- och neutralitetsvillkoren skall vara uppfyllda. Resultatet att enbart regeln enkel majoritet uppfyller anonymitets- och neutralitetskraven innebär förstås också att andra regler bryter mot åtminstone något av dessa båda krav.

Att t ex regeln kvalificerad majoritet bryter mot neutralitetskravet är lätt att visa på följande sätt. Antag att en kvalificerad majoritet på 75 % krävs för beslut i ett visst sammanhang. I en sådan regel ligger då förstås också att allt blir vid det gamla, d v s att status quo vinner, om den erforderliga majoriteten för ett framlagt förslag inte uppnås. Om under dessa förhållanden 60 % av de röstande föredrar ett förändringsförslag F framför status quo så vinner alltså status quo. Om vi sedan, i enlighet med beskrivningen av neutralitetskravet, byter plats på F och status quo i alla individuella rangordningar så kommer 60 % att föredra status quo framför F, men fortfarande vinner status quo. Alltså är neutralitetskravet inte uppfyllt.

Mays teorem är också intressant genom att det fäster uppmärksamheten på att Arrow i sin ursprungliga problemformulering knappast hade något som helst krav på att medborgarna skulle behandlas lika. Ett sådant krav, vilket från demokratisk synpunkt kan synas självklart, kommer in i diskussionen först med Mays anonymitetskrav. Arrows enda krav av detta slag var att den extrema ojämlikhet som existensen av en diktator utgör inte fick förekomma.
 
 

Slutnoter

1En del forskare, t ex James Buchanan (1992, s 73 f), betraktar inte detta ämnesområde som en del av den ekonomiska statsvetenskapen (eller av public choice-teorin). Skälet är att även om ekonomisk metod i stor utsträckning används så uppfattas politiken likväl inte som en bytesprocess ("conceptualization of politics as exchange"), vilket är centralt i Buchanans definition av public-choice. Att Buchanans problemuppfattningar i stora stycken verkligen också är oförenliga med t ex Kenneth Arrows kommer att framgå senare i detta kapitel och i nästa. Detta hindrar dock inte, menar jag, att bådas arbeten kan, och också bör, räknas till den ekonomiska statsvetenskapen. Den ekonomiska statsvetenskapen blir på så sätt väsentligt rikare än eljest. Att en disciplin under utveckling innehåller delvis oförenliga element behöver ju inte vara något fel utan kan, från fruktbarhetssynpunkt, snarast ses som en tillgång.

2Referatet är baserat på andrahandskällor, i första hand Tingsten (1939, 1945) och Russell (1945).

3Även detta avsnitt är baserat på sekundärkällor, väsentligen Black (1958).

4Detta resonemang är, som kommer att framgå i avsnittet "Nyttoteori" i Appendix, inte okontroversiellt. Med den terminologi som presenteras där kan man säga att Borda använder en kardinal nyttoskala.

5Inte heller detta resonemang är okontroversiellt och innebär i viss bemärkelse, på det sätt som förklaras i Appendix, en interpersonell nyttojämförelse. I detta hänseende är Borda emellertid på intet sätt ensam. I själva verket bygger praktiskt taget alla voteringsregler på någon form av interpersonell nyttojämförelse, vilket också framgår av normer sådana som "en man, en röst". Enda undantaget är, som framgår i Appendix, enhällighetsregeln. Vid krav på enhällighet spelar det ingen roll hur många röster varje röstande har.

6Borda, som trots sitt intresse för valmetoder huvudsakligen var fysiker och matematiker, var medlem av franska vetenskapsakademin. I sin födelsestad Dax, nära Bordeaux, står han staty. Sedan Borda utarbetat sin valmetod användes den av akademin för inval av medlemmar från 1784 till 1800 då en ny medlem, Napoleon Bonaparte, genomdrev dess avskaffande (Black 1958, s 156, 180).

7Beviset här är enklare än i Arrows ursprungsversion, bl a beroende på att kraven på beslutsregeln formulerats något annorlunda, och följer i allt väsentligt de sinsemellan mycket lika bevisen i Luce & Raiffa (1957) och Vickrey (1960). I hopp om att göra beviset mer lättillgängligt för den matematiskt otränade läsaren har jag emellertid gjort framställningen utförligare än i de relativt koncentrerade förlagorna.

8För att klarare se det konstiga i situationen kan man tänka sig en person som på ett kafé frågar vad de har för slags smörgåsar. Han får veta att de har ostsmörgåsar och smörgåsar med leverpastej och beställer då en ostsmörgås. Men när servitrisen efter ett tag kommer tillbaka och meddelar att de också har skinksmörgåsar så ändrar han sig och säger att "då tar jag en leverpastejsmörgås istället". Det är just på det viset samhället kan bete sig när en valmetod, som inte är obereonde av irrelevanta alternativ, t ex Bordas metod, tillämpas.

9Detta antagande tjänar endast syftet att precisera förutsättningarna för det fortsatta resonemanget. Det är, som matematiker säger, ett antagande "pour fixer les idées". Vi skulle lika gärna kunnat anta att beslutet går B:s väg och alltså blir TpS, för att därefter genomföra ett resonemang i fullständig analogi med det nu faktiskt presenterade resonemanget.

10Det är väsentligt att diskussionen här gäller mängder. Om åsiktsförändringen sålunda bara innebär att antalet personer som stöder SpT ökar så säger vårt krav ingenting om vilket beslutet skall bli i det nya läget. Det är bara i det fall då just samma enskilda människor som i det första åsiktsläget (d v s mängden A) utökas med ytterligare några, t ex mängden c, som kravet är tillämpbart.

11Att det faktiskt är möjligt att på detta sätt välja ut ett åsiktsläge med vissa bestämda egenskaper som används i beviset beror på universalitetskravet. Detta krav innebär ju att inga tänkbara åsiktslägen är uteslutna. Det just utvalda åsiktsläget är intressant genom att det inte uppfyller det s k entoppsvillkoret, som beskrivs i det kommande avsnittet "Vägar förbi Arrows resultat". Hade enbart åsiktslägen som uppfyller entoppsvillkoret varit tillåtna hade det utvalda åsiktsläget alltså inte kunnat användas, och därmed hade det inte heller varit möjligt att genomföra beviset.

12Detta sätt att bedöma någonting utifrån, med hjälp av kriterier som är närmast estetiska och under alla förhållanden irrelevanta för de berörda, är antagligen inte särskilt ovanligt. Ett intressant exempel från ett helt annat verksamhetsområde ger Wennergren Center i Stockholm. Där finns en hög skyskrapsliknande byggnad med kontor för forskningsadministration och runt den en mycket lägre bågformad byggnad med forskarbostäder. Uppifrån ser det hela ut ungefär som bokstaven C (bostadsbyggnaden) med en prick mitt i (kontorsbyggnaden). Men C:et är inte något exakt C utan har i själva verket en mycket speciell form. Det är format som en del av en spiral, och dess ena ändpunkt ligger alltså en bra bit närmre centrumbyggnaden än den andra. Arkitektens motivering för denna spiral var att den på samma gång symboliserar forskningens koncentration på sitt ämne och dess utåtriktning mot världen. Det är kanske vackert tänkt. Det är bara det att det dessvärre inte finns någon observatör på den upphöjda utsiktspunkt som måste utnyttjas för att skönheten skall kunna uppskattas. Människorna rör sig alla nere på marken och ser arkitekturen var och en ur sitt grodperspektiv.

13Vi såg ju f ö i föregående avsnitt att ett åsiktsläge som inte uppfyller entoppsvillkoret direkt utnyttjas i beviset för Arrows teorem.

14Jag tror det är klargörande att föra resonemanget ett steg vidare på denna punkt. Egentligen visar ju inte resonemanget att "irrelevanta" alternativ bör beaktas utan snarare att det finns skäl som talar för utnyttjandet av en kardinal, snarare än en ordinal, nyttoskala (jfr avsnittet "Nyttoteori" i Appendix och också redogörelsen för Bordas och Condorcets attityder till sådana skalor tidigare i detta kapitel). De "irrelevanta" alternativen fungerar ju i resonemanget som ett slags milstolpar eller avståndsmarkörer utefter nyttoskalorna och pekar därigenom på dessas kardinala karaktär. Kunde man ange avstånd utefter dessa skalor på något annat sätt än med hjälp av s k irrelevanta alternativ, skulle emellertid det också gå bra. Den här anförda kritiken mot Arrow innebär därför egentligen inte att "irrelevanta" alternativ bör beaktas, utan snarare att nyttoskalor bör vara kardinala och inte, som hos Arrow, ordinala. Detta innebär förstås också att det krav på oberoende av irrelevanta alternativ, som ofta förekommer i beslutsteoretiska sammanhang, och föreställningen om ordinala nyttoskalor, utan att vara samma sak, likväl har nära beröringspunkter med varandra.

15I kapitel 4, och framför allt i kapitel 5, behandlas emellertid voteringar och förhandlingar i ett sammanhang.

16Vad Blin och Satterthwaite mer exakt visat är att kravet på oberoende av irrelevanta alternativ och kravet på positiv reaktion på förändringar (Arrows sjätte krav) tillsammans är ekvivalenta med kravet på resistens mot taktisk röstning. Eftersom kravet på postiv reaktion på förändringar är så självklart, och därigenom nästan omöjligt att gå förbi, kan resultatet i praktiken sägas innebära att kraven på oberoende av irrelevanta alternativ och på resistens mot taktisk röstning är ekvivalenta.